Filosofía de la Cognición. Algunas observaciones sobre las formas matematicas

La naturaleza de la matemáticas ha sido estudiada desde hace miles de años. Pasando por griegos, hindúes, chinos, mayas, babilonios, por citar algunos, todos han tratado de construir conocimiento matemático, y a la vez, tratar de explicar que son y de donde vienen. Algunas aproximaciones, han postulado que las matemáticas no existen en el universo, que tienen una existencia real, o que son construcción mental[1]. Pero no ha sido sino hasta tiempos recientes, que se le ha prestado atención al cerebro humano, como primer y último creador de las matemáticas; diseñado por la evolución natural para la supervivencia en la sabana africana, desarrollo prontamente habilidades para la suma, la multiplicación y el reconocimiento de conjuntos (entre otras posibilidades matemáticas). Por un lado tenemos una “maquina” que nos permite construir relaciones y proposiciones matemáticas, pero por otro lado, lo que esta es parece escapar a la compresión misma de su conocedor. ¿Qué de nuestro cerebro nos permite crear y conocer sobre las matemáticas?

Leibniz en su libro New Essays on Human Understanding nos dice:

“Aunque los sentidos son necesarios para todo nuestro actual conocimiento, no son suficientes para proveerlos todos” (Leibniz, pág. 2)”[2]

Observo esto plausible sobre todo en relación a las matemáticas. Las matemáticas no son solamente un producto de la experiencia, (de la cual podríamos extraer la verdad matemática del mundo exterior en el sentido del platonismo matemático) sino que a la vista de nuestros procesos cognitivos y su evolución; el nacimiento en África, y su consolidación en Europa[3], podemos decir que el cerebro genera las componente innatas para entender las relaciones matemáticas que la naturaleza puede mostrarnos; en este caso, la experiencia dispara las diferentes áreas cerebrales que se encargan de producir más adelante el conocimiento matemático. Por ejemplo, en estudios realizados en bebes, llevados a cabo por Karen Wynn[4], se ha demostrado que el manejo de expresiones, más grande o más pequeño, aparece conforme la manipulación de objetos se va dando en su desarrollo:

Los bebe pueden extraer las reglas elementales de la aritmética de su ambiente, este conocimiento puede ser innato, construido en la arquitectura de los cerebros de los bebes, y llega a manifestarse tan pronto como la habilidad para memorizar la presencia de objetos detrás de una pantalla emerge alrededor de un mes de nacido. (Dehaene, 1997, pág. 62) [5] . Lo cual nos dice, que de la experiencia se van formando los conceptos, que nuestras diferentes áreas cerebrales se encargan de madurar con ayuda de las diferentes memorias, de la capacidad de resolución de problemas y otras características propias del cerebro del homo sapiens, en otras palabras, de sus capacidades cognitivas.

Pero, ¿cómo qué clase de órgano podemos ver el cerebro, que permite el conocimiento matemático? ¿Como una máquina de Turing[6]?, ¿Como un gran sistema lógico, o como un órgano que tiene la capacidad de establecer cuentas y comparar conjuntos? El ser humano empezó a utilizar ciertas notaciones matemáticas casi al principio de su existencia, en el periodo Auriñaciense algunos huesos fueron tallados con ciertas notaciones y líneas paralelas, estamos quizás al inicio de lo que fue la notación numérica y las primeras formas de las matemáticas y la escritura (Marshack, 1991, págs. 81-84), la observación de fenómenos celestes, como las fases de la luna, pudieron llevar a los primeros homo sapiens, a construir calendarios lunares, en lo que las muescas en los huesos y piedras, pudieron generar las primeras concepciones de los números. Pero en el conocimiento visual de los números, el cerebro tiene al parecer patrones de reconocimiento[7], o formas de manejar los datos externos para trabajarlos internamente. De esta manera, los números han sido representados casi que de una manera universal desde el inicio de la notación numérica: tanto los antiguos babilonios, como etruscos, romanos, chinos e hindúes han representando las primeras cantidades casi que de similar manera:

Figura 1. Representación numérica de cantidades pequeñas (Dehaene, 1997).

En casi todos estos casos, la numeración es similar hasta el número 4[8], luego de ahí hay un cambio cognitivo-representativo, más allá del número tres, por ejemplo, la notación de barras se vuelve impráctica, pues no podemos distinguir III de IIII de una sola vez. (Dehaene, 1997, pág. 66). La numeración arábiga (hindu) en base 10, representa una forma eficaz en la que se pueden simbolizar y discretizar cantidades continuas y que parece estar mas acorde con la forma en la que los humanos podemos manejar los números, relacionados con las capacidades de memoria, tanto semántica, como episódica (Marc Brysbaert, 2005, págs. 34-39). En la observación de conjuntos (desde una temprana edad) podemos de alguna manera asumir los números; tenemos de cierta forma una experiencia fenoménica de un conjunto, que en nuestra mente codificamos y empezamos a construir la secuencia[9] de números a partir de la observación de las propiedades de adición y substracción, con conceptos[10] como “más grande que” o “más pequeño que” en los elementos de un conjunto (Dehaene, 1997, pág. 66) . Los conjuntos nos demuestran de alguna manera la intuición de los números, y de esta manera, podemos construir un concepto; aunque el paso de los conceptos de conjuntos a los números y de igual manera el paso de conjuntos pequeños a conjuntos grandes, no es fácil para el cerebro humano. Si los números que tenemos a la mano, en conjuntos pequeños, pueden ser contabilizados y representados con cierta facilidad cuando son pequeños, y con dificultad cuando alcanzan cierto nivel, ¿cómo pasamos a la creación abstracta por ejemplo, de grandes cantidades numéricas, o a los números transfinitos tanto ordinales, como cardinales[11]? Georg Cantor fue el primero que trato el tema de los números transfinitos, asumiendo una comparación entre el conjunto de los números finitos y el conjunto de los números infinitos. El infinito, al ser un concepto abstracto, escapa a una comprobación empírica, por lo tanto la intuición[12] matemática, entra a jugar un papel importante. Y Cantor, utilizando el concepto de conjunto, (quizás como los bebes pueden usarlo), estableció una comparación de correspondencia uno a uno (Kline, Mathematics the Loss of Cetainty, 1980, pág. 201) entre el conjunto de los números naturales, y el conjunto de los números reales, demostrando que no existía tal correspondencia, y había niveles de infinitud diferentes. Aunque puede decirse también que el concepto de infinito, o de infinito actual pueda ser una construcción metafórica, en la que el cerebro humano conceptualiza y construye el resultado de un proceso infinito (Rafael Nuñez & George Lakoff, 2005, pág. 113). La construcción básica de los números que los humanos hacemos, y con la experiencia de su comprobación por medio de conjuntos de objetos, lleva a nuestro cerebro (adecuadamente entrenado) a las intuiciones sobre lo que puede extenderse a partir de los conceptos básicos que conocemos. Otros conjuntos de números son igual de complicados de conocer, sino se tiene un conocimiento y un entrenamiento adecuado, como, por citar un ejemplo, el conjunto de los números complejos o imaginarios[13], en la que su construcción se basa en el concepto de las raíces negativas de un numero. Introducido como una ayuda al análisis vectorial fueron descubiertos por Wessel, Gauss y Argand (Kline, Mathematics the Loss of Cetainty, 1980, pág. 89), y pronto, estos números pudieron sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse sirviendo al algebra de vectores, de lo que podemos decir, que aun las ciencias duras, están envueltas en la más obscura metafísica. Así la construcción del concepto de número y sus propiedades, se da pasando primero por el análisis de conjuntos que da la experiencia del mundo externo, y la forma en que nuestro cerebro interpreta y razona esa información (Mozes, 2010).

La comparación con una maquina de Turing, por parte del cerebro en el manejo de cantidades y conjuntos, parece no ser plausible, dado que por un lado, el conocimiento de tales cantidades por el cerebro parece tener un límite (limitación de memoria en palabras de Alan Turing) a cantidades pequeñas, y por otro lado, la posibilidad de seguir un algoritmo determinado para establecer relaciones numéricas, no explicaría la intuición para formar conceptos como números infinitos o los complejos. Si bien es cierto, el funcionamiento del cerebro puede establecerse con una metáfora computacional, el convertir el cerebro a una maquina de estados finitos es una visión un tanto limitada[14] del funcionamiento mismo del cerebro (Lucas, 1961).

Pero el manejo numérico, no es la única construcción matemática que maneja o puede crear el cerebro humano. La geometría, las formas geométricas, parecen ser creación del cerebro humano:

Las formas geométricas ocurren en la decoración humana en todo el mundo, hoy y en el pasado. Los humanos espontáneamente hacen formas geométricas, y estas figuras geométricas tienen muy pocas manifestaciones en la naturaleza. Flores, conchas y hojas tienen formas simétricas generales, y sin embargo no despliegan líneas o círculos perfectos que caracterizan la decoración hecha por el hombre. Círculos, rectángulos, triángulos, y líneas tanto horizontales, verticales y diagonales son todas abstractas, formas no naturales impuestas por el hombre a la naturaleza. Los humanos, por supuesto, compartimos con otros animales una preferencia por orden más que por el desorden. Regularidad y predictibilidad son las formas en las que le damos sentido a nuestro mundo (Dissanayake, 1995, págs. 80-81)

Si las formas geométricas como el triangulo no se dan de forma natural, ¿es efectivamente en nuestro cerebro de donde surgen? Una primera respuesta la encontramos en el dialogo platónico el Menon. En este dialogo[15] Sócrates intenta enseñar la virtud a un esclavo, pero la conversación deviene en el conocimiento de figuras matemáticas, en las que, por un juego de preguntas y respuestas, trata de llegar a un conocimiento de la verdad, en este caso, como lo muestra Sócrates, el esclavo que no sabía de geometría logro llegar al conocimiento de lo que ya conocía para poder responder las preguntas formuladas. Esto nos lleva nuevamente al punto de arranque sobre la reflexión geométrica, ¿si las figuras geométricas no se dan de forma natural, de donde sacamos sus ideas?, ¿por un conocimiento anterior como es el caso Platónico, o quizás en la necesidad de orden y armonía propia del ser humano? Asumir la primera, es establecer una existencia independiente de las matemáticas, tal como lo creía Gödel, y como recientemente los defiende Pemrose en su libro “La mente nueva del emperador”. Creo sin embargo, que debemos llegar a nuestro cerebro para poder establecer la naturaleza de este conocimiento geométrico y matemático. El ámbito de la psicología cognitiva y de la neuropsicología hallamos pistas sobre la naturaleza de nuestras construcciones de formas geométricas:

…Los psicólogos han encontrado que la mente humana interpreta lo que es percibido de acuerdo a esquemas generales, categorías existentes o prototipos (tales como redondez, rojez, pequeñez, simetría, verticalidad) en las cuales las experiencias son asociada[16]s…. Redondez y longitud parecen ser “features” especiales. El hecho de que estas formas abstractas y geométricas aparezcan en el arte humano y no en la naturaleza para ser copiadas es descrita por una ley de la teoría de la escuela psicológica de la Gestalt: simplicidad es el estado al que tienden todas las configuraciones físicas y psicológicas (Arnheim 1986). Rudolf Arnheim (1966, 42) encontró en esta tendencia natural de la mente a aprehender el mundo como una buena forma organizada que el arte, lejos de ser un lujo es una herramienta biológica esencial. Las formas geométricas también tienen una componente neuropsicológica. Por ejemplo, los nativos Tuskanos del Amazonas decoran sus casas e instrumentos ceremoniales con motivos geométricos, los cuales son producto de sus experiencias rituales potenciadas por el licor producido por el alucinógeno yaje. Estas figuras son producidas por el fosfeno, el cual produce figuras geométricas de luces cuando cerramos los ojos, en los Tuskanos, esto pude ser potenciado aun mas por el uso del yaje… (Dissanayake, 1995, pág. 82)

Podríamos decir, que la manifestación artística estuvo antes que la reflexión matemática, y la matemática, particularmente la geometría, es el resultado de nuestros procesos cerebrales y mentales. La construcción de figuras geométricas y la necesidad de orden, nos lleva a la axiomatización de la geometría(y otras formas matematicas, como números, conjuntos, por citar algunas), como fue el esfuerzo que realizo Euclides; ordenar un conjunto de afirmaciones es una manera de construir y mantener conocimiento. Euclides ha sido conocido por ser el primero que llevo a una fundamentación de la geometría al axiomatizarla[17], al ser estudiante de la academia platónica (Fowler, 1999, págs. 113-126), su rigurosidad en la demostración, lo llevo a la axiomatización de la geometría

Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.

2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.

3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos[18].

Los primeros tres postulados son quizás contribuciones de matemáticos anteriores, que Euclides sintetizo en sus “Elementos”, y se refieren a la posibilidad de construir líneas y círculos, siendo aserciones existentes de estas dos entidades (Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Vol I , 1972, pág. 60). El último postulado, creación propia de Euclides levanto la crítica de sus contemporáneos, pues no era auto evidente, y se ha tratado de demostrar a partir de los anteriores. La importancia de esta axiomatización esta en el proceso de reflexión que continuo a partir de la necesidad de orden del cerebro humano de establecer figuras geométricas regulares en el mundo. La perfección de estas figuras, necesaria para justificar muchas creencias humanas[19], conlleva un proceso de análisis y construcción mental, que con la axiomatización euclidiana da pie a mayor conocimiento y análisis de estas figuras y sus aplicaciones en la vida cotidiana, por ejemplo este mismo análisis sobre los axiomas euclidianos, particularmente el quinto axioma[20], unos mil años después fue estudiado por el matemático y filósofo persa Omar Khayyam(1048?-1122), y escribió un libro titulado “Comentarios de las dificultades de los postulados en los Elementos de Euclides” en las que de alguna manera sentó las bases de la geometría no-euclidiana[21], que diez siglos más tarde revolucionarían la concepción del mundo y los conceptos básicos de la realidad[22].

Hacia 1894 Giuseppe Peano trato de dar una fundamentación a la geometría euclidiana en su obra “Sui fondamenti della geometría”, en la cual le daba importancia al hecho de que los elementos básicos estaban sin definir, y que debían usarse tan pocos como se pudiera; uso punto, segmento y movimiento (Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Vol I , 1972, pág. 1010). La representación geométrica que hizo el hombre de su mundo, y su necesidad de representación, dio lugar, como vimos a la rigurosa demostración de las figuras geométricas, dando paso a la axiomatización,

Otra manera de fundamentar el conocimiento matemático[23] que empezó a utilizarse fue la lógica, y en la que Peano, jugó un papel muy importante.

La axiomatización del conocimiento matemático llevo al surgimiento de varias escuelas dentro de la filosofía de las matemáticas y dentro de las matemáticas mismas, para fundamentar sus diferentes posiciones (tanto de las matemáticas como de la lógica). Si los logicistas abogan por una fundamentación lógica de la matemática, ¿cómo se dan los procesos lógicos en términos de construcciones mentales? Los estudios de lógica los encontramos en la obra de Aristóteles, que nos propone tres principios:

1) Principio de identidad

2) Principio de no contradicción

3) Principio del tercero excluido

Y para Aristóteles son la base de cualquier ciencia. ¿Son estos principios de lógica, innatos, creados como las figuras geométricas?, ¿es el cerebro una maquina lógica, se puede fundamentar las matemáticas a partir de la lógica? ¿Cómo manejamos la lógica los seres humanos? George Boole[24] trato este problema mencionando “que las leyes de la lógica son las leyes del pensamiento” (Keane, 2003), lo que nos llevaría a analizar si, nuestro pensamiento o nuestras acciones son lógicas, esto es, si están basadas en modelos lógicos. El razonamiento con condicionales por ejemplo, puede analizarse a partir de inferencias validas e inválidas en el uso del modus ponens[25] () y del modus tollens (). Algunas ocasiones, la personas fallan en hacer inferencias validas y consideran inferencias invalidas aceptables.

Estos resultados han sido encontrados en experimentos donde los sujetos son presentados con una oración condicional (por ejemplo: “si ella se levanta tarde, ella va a correr”) y una premisa (por ejemplo: “ella se levanta tarde”), y se les pone a evaluar una conclusión, pensar una conclusión, o escoger entre una lista de posibles conclusiones. En uno de los estudios, Marcus & Rips (1979) el 21% de los sujetos hicieron la inferencia de negar el antecedente, y 33% afirmaron el consecuente (Keane, 2003, págs. 445-456). Por ejemplo el contexto puede modificar en gran manera el resultado de las inferencias (Markovits, 1984.1985; Rumain et al., 1983), de la misma manera, Byrne (1989a), “ha encontrado, usando un paradigma similar al de Rumain et al., que proveer extra información puede reprimir las inferencias validas e invalidas” (Keane, 2003, pág. 452) .

La evidencia de razonamiento con condicionales muestra que las personas consistentemente no hacen inferencias mostradas validas por la lógica proposicional, y algunas ocasiones, hacen inferencias inválidas[26]. La psicología cognitiva en estudios recientes ha implicado a los lóbulos frontales izquierdos, aunque algún conocimiento parece venir del hemisferio derecho en el manejo lógico.

Se cree a partir de estos estudios, que las personas son racionales en ciertos aspectos, lo que no parece estar claro es que si esta racionalidad es puramente adaptativa, en un sentido de un objetivo directo, o lo que puedan decir es verdaderamente racional en un sentido normativo (relativo a la lógica modal). (Keane, 2003, págs. 470-473).

Si como seres humanos manejamos la lógica bajo ciertas y particulares características, ¿podemos decir que efectivamente nuestras construcciones matemáticas descansan sobre la construcción lógica (diferente a la fundamentación lógica de la matemática)? O si como lo menciono Brouwer a la pregunta donde se debe hallar el rigor matemático, a lo que contesto; “los formalistas en el papel, los intuicionistas en el intelecto humano” (Kline, Mathematics the Loss of Cetainty, 1980, pág. 253), es una forma de ver el uso de la lógica por nosotros. El cerebro humano que como dijimos evoluciono en la sabana Africana, quizás no desarrollo la habilidad para el cálculo lógico, y como tal una construcción matemática a partir de lo que no podría ser natural en el hombre parece poco plausible. Definir el cerebro humano como un elemento mecánico, capaz únicamente de manejar símbolos lleva a una visión muy disminuida de la naturaleza misma del cerebro. El concepto de numero que tiene poca relación con una representación digital de 1’s y 0’s y fue un proceso de culturización de la especie, y no parece haber sido parte al menos en mucho tiempo de los procesos de evolución. ¿Necesitamos la lógica y los axiomas para entender y construir números y matemática en general? Si bien es cierto que nuestro cerebro no depende de axiomas” (Dehaene, 1997, pág. 241), no por eso la construcción y la enseñanza de la lógica y la construcción de axiomas no debe de dejar de ser enseñada, a diferencia del criterio de Dehaene, pienso que la lógica y su enseñanza es de gran importancia para reforzar los procesos del pensamiento. Si hay problemas con la construcción de la lógica y el uso de sus herramientas, es porque el cerebro no funciona de una manera lógica a modo de una maquina de Turing o un computador digital, usar esta analogía, para la enseñanza (Dehaene, 1997, pág. 241), es lo que puede ser peligroso y producir confusión en esta enseñanza. Von Neuman tuvo la idea de que el cerebro es probablemente una mezcla de analógica con una maquina digital en la cual el manejo simbólico y el de códigos están integrados:

Cualquiera que sean las limitadas habilidades que nuestro cerebro exhiba para la lógica y la matemática, son el visible resultado de una arquitectura neuronal que sigue reglas no-lógicas. (Dehaene, 1997, pág. 236) .

Y es precisamente en base al uso de las palabras “arquitectura neuronal” y la metáfora computacional, que mucho de lo que es el estudio del cerebro humano, se ha desvirtuado; si bien es válido, ver las neuronas como una metáfora con un transistor y con compuertas lógicas electrónicas (Glynn, 1999, pág. 133), el cerebro humano es mucho más que eso. La construcción lógica, derivada de la aguda observación del mundo exterior es una prueba de lo rico y variado de las construcciones mentales del ser humano, y son necesarias para construir nuestros conceptos de números, figuras, axiomas y leyes lógicas. La lógica es como el razonamiento que nuestro cerebro usa para sintetizar, entre otras, la “experiencia matemática” del mundo exterior que nos brindan nuestros sentidos, bajo esta visión, la lógica nos permite, conocer la matemática.

La lógica trato de formalizar y axiomatizar este conocimiento, al igual que la geometría, debido en parte al ambiente de la época; finales del siglo XIX y principios del siglo XX, en el que cualquier mención a un posible Platonismo debía ser eliminada por su connotaciones metafísicas (Horsten, 2008), y de esta manera fundamentar la aritmética en bases puramente formales[27] y lógicas, pero también se enfrento con varios problemas. Dedekind, Peano, Frege, Russell, y Whitehead entre otros trataron de llevar este proyecto a buen puerto. Con el diseño de elaborados sistemas lógicos trataron de capturar la intuición de lo que es un número: sin embargo, esta aproximación formalista llego a serios problemas que revelan en cierta manera lo difícil que es reducir las funciones cerebrales a un sistema formal. (Dehaene, 1997, pág. 238). La más simple de estas formalizaciones para la aritmética fue propuesta por Peano, que esencialmente pueden resumirse a estos:

1. 1 es un numero

2. Cada numero tiene un sucesor, denotado Sn o simplemente como n+1

3. Cada número, excepto 1, tiene un predecesor (asumiendo que consideremos únicamente los enteros positivos.)

4. Dos números diferentes no pueden tener el mismo sucesor.

5. Axioma de recurrencia: si una propiedad es verificada para el numero 1, y si el hecho de que es verificada para n implica que también es verificada para su sucesor n+1, entonces la propiedad es cierta para cualquier numero n. (Dehaene, 1997, pág. 238)

Que como mencione anteriormente trataban de llegar a una intuición de lo que es un número, por medio de un sistema formalizado. Estos axiomas de Peano fueron retomados por Gödel, que fundamento los análisis logico-matematicos de una manera más rigurosa demostrando la inconsistencia y la incompletitud de la aritmética de Peano (Horsten, 2008) y que de alguna manera se trajo al suelo algunos intentos de formalización, como por ejemplo el proyecto formalista de Hilbert[28].

De igual manera, Russell con su programa logicista, se enfrento a los problemas generados en su teoría de tipos[29], esta teoría no era suficiente para deducir las leyes básicas de la aritmética (Horsten, 2008) . Los programas logicistas y formalistas no pudieron de una manera clara dar los fundamentos de las matemáticas. Por eso me adscribo a una tesis intuicionista en el sentido de las matemáticas como construcción mental, pero no en el entendido que esta tesis intuicionista propuesta por Brouwer pueda ser una fundamentación para todas las construcciones matemáticas que los humanos hacemos, porque aunque se da el problema del manejo de los conceptos de infinito, y también el manejo de la lógica, eliminándose en este sistema de Brouwer el principio del tercero excluido (Horsten, 2008).

Otras aproximaciones tratan de explicar cómo conocemos las matemáticas, postulando unas por ejemplo, que estas tienen una existencia real, conocido como Platonismo matemático (Godel, 1951) , y simplemente nosotros lo que hacemos es descubrir esas verdades, como los exploradores españoles descubrieron América. (Pemrose, 1996). Pero, estas fallan en explicar como “descubrimos esas verdades”, con que barco y en que océanos tenemos que viajar para llegar a estas tierras, pues como menciono Wittgenstein, no es posible contraponer la seguridad matemática a la relativa inseguridad de las proposiciones empíricas (Wittgenstein, Sobre la Certeza, 2006, pág. 86)

Así como los números, la geometría y la lógica, son producto de la construcción humana, de su cerebro, y como tal, necesita de la experiencia y la razón (podemos llamarle lógica) para llevarlas tan lejos como pueda, la analogía con el computador no se hace esperar. Como vimos, se ha tratado de establecer el funcionamiento del cerebro humano a partir de la máquina de Turing, y con esta modelar los estados mentales y el manejo de símbolos. ¿Puede la mente puede trabajar como un computador y crear este conocimiento matemático? Uno de los presupuestos fundamentales de los últimos años ha sido el estudio de los procesos mentales a partir de la metáfora computacional, tomando por ejemplo las ideas de Alan Turing, en las que el cerebro puede trabajar como una máquina (maquina de Turing) de estados finitos, realizando operaciones tales como leer, escribir, borrar, moverse a la izquierda o a la derecha (TURING, 1936, págs. 2-16), asumiendo quizás una propuesta funcionalista para la naturaleza de las relaciones mente-cerebro. Kurt Gödel había reñido estas ideas, considerando que el cerebro humano no podría ser reducido a una maquina (Godel, 1951), como pareció ser la esperanza de los primeros estudios en computación y posteriormente en inteligencia artificial. J.R. Lucas también lo expresa de manera similar, al decir, que el “Teorema de Gödel me prueba que el mecanicismo es falso, que la mente no puede explicarse como una máquina” (Lucas, 1961). Lo cual, me parece posible, pues las características del cerebro humano y de su mente, no pueden ser reducidas a una mera maquina de estados: la conciencia, que no está explicada hoy en día, la intuición, la forma de resolver problemas (Keane, 2003, pág. 393), el uso de la experiencia, la memoria y otras facultades, hacen del cerebro, un órgano más poderoso que cualquier maquina o dispositivo artificial que pueda crear el ser humano. Aun con los fundamentos que provee Turing en su trabajo sobre el “juego de la imitación”, no es posible ver el cerebro como una máquina de estados. En el juego de la imitación, propuesto por Alan Turing (Turing, 1950) la idea central es analizar si una computadora puede generar respuestas en las que el interrogador no pueda diferenciar si es una persona o un ser humano el que las da (dadas la naturaleza del juego). La idea es entonces:

…si en el juego, una maquina logra engañar a un interrogador, haciéndole creer que es una mujer o que el otro jugador es un hombre, una cantidad de veces equivalente la que ocurriría si el juego se diera entre humanos y mayor a la que ocurriría por azar, podría decirse que la maquina en cuestión piensa, y por lo tanto, que las maquinas pueden pensar… (Baron, 2008)

Por supuesto, que en este caso, nuevamente, está el concepto mecánico del pensar o lo que sería resolver una determinada operación por medio de un algoritmo. Si en este sentido pensar es seguir mecánicamente una serie de instrucciones (Maquina de Turing) entonces podría decirse que efectivamente las maquinas pueden pensar. Pero en los seres humanos, resolver mecánicamente una tarea no necesariamente es pensar, pues hay muchos atributos a nivel por ejemplo de psicología cognitiva, en las que otras funciones intervienen en la resolución de un determinado problema , por ejemplo el uso de las diferentes memorias en el ser humano(memoria semántica, episódica, de trabajo, de corto plazo, de largo plazo) el insight del que nos habla la teoría de la escuela de la Gestalt, entonces, no creo, que resolver mecánicamente una tarea, sea una indicación de que tal maquina pueda ejercer un pensamiento. Si vemos la historia de la evolución del homo sapiens, no fue resolviendo mecánicamente diferentes problemas como logro sobrevivir y evolucionar, ya que se enfrentaba a nuevas situaciones, sino con todo la carga de sus relaciones sociales, los medios de que disponía en la naturaleza y su capacidad para improvisar y utilizar los recursos disponibles (creación de herramientas, caza, recolección), y demás presiones evolutivas; siguiendo una resolución mecánica hubiera estado muy limitado en sus capacidades. Por otro lado, el que, una maquina pueda responder preguntas, y aquí me adscribo a la tesis de Searle (Searle 1983) y su prueba del cuarto chino, las maquinas (al menos hoy por hoy) no son capaces de tener intencionalidad, sino la mera manipulación de símbolos, en la que no hay interpretación de la información que se procesa.

…los humanos somos maquinas exponentes de programas de computación, manipulamos símbolos formalmente y aun así, podemos pensar. Las computadoras no tienen intencionalidad, y por ende no piensan. La intencionalidad de los humanos deviene de su biología, y las entrañas de nuestros aspirantes a seres pensantes no poseen tal característica.. (Baron, 2008)

La mera manipulación de símbolos, sin una adecuada capacidad de interpretación, de intencionalidad no puede considerarse como una capacidad total de pensamiento, quizás sea una parte importante el poder seguir procedimientos para resolver una tarea, pero mecánicamente, por ejemplo, un reloj, sigue su programa de marcar segundos, minutos, horas y días de acuerdo a un sistema mecánico o a un sistema digital, pero no por eso piensa en los segundos, minutos y horas que está marcando, de la misma manera, que un termostato que mecánicamente regula la temperatura de acuerdo a cierta información, no es “consiente” de que tiene que regular la temperatura, sino que simplemente reacciona ante informaciones de sensores.
Turing trata de explicar sobre la objeción de la conciencia al decir que no se puede establecer de primera mano una comprobación de estos fenómenos sino a través de la conducta. La conciencia tiene diferentes niveles, alcanzado uno de los mayores grados con los homo sapiens, sin que esto signifique que otros animales no la tengan. Pero el desarrollo de la conciencia no ha sido posible generarla a un nivel no biológico, al nivel de los seres humanos; si esto se lograra, entonces quizás si podría decirse que las maquinas podrían pensar y crear matemáticas. Pero esta muy lejano el momento en que se pueda crear una conciencia a partir de un medio no biológico, electrónico por ejemplo, y de esta manera crear inteligencia; los sistemas computacionales hoy por hoy solo tienen manejo sintáctico, y pensar y crear mundo es más que puro manejo simbólico, incluye contenidos semánticos significativos (Searle, 2001, págs. 42-44). La inteligencia se puede modelar con un hardware adecuado y con programas adecuados, y con modelamiento me refiero a las diferentes arquitecturas cognitivas, que siguiendo los modelos de la psicología cognitiva puedan aproximar un comportamiento de la forma en la que los humanos aprendemos, manejamos y generamos información y conocimiento. ¿Podría un computador generar necesidades de orden y armonía y crear en su imaginación o por sus procesos electrónicos la visión de formas geométricas, o podría acaso crear la necesidad de enumerar las diferentes cosas que observa y posee, o generar pautas de comportamiento lógico a partir de situaciones específicas? El cerebro humano, es más que un computador, es capaz de crear las matemáticas, conocimiento generado a partir de su evolución y de sus construcciones e intuiciones individuales y culturales, con esto explora y modela el mundo, por lo tanto, el cerebro, no puede ser reducido a una maquina, y no creo las maquinas podrán crear matemáticas, arte y mundo.

En este trabajo se ha estudiado algunos de las formas en las que el ser humano hace la construcción matemática. Sin embargo, procesos de representación, uso de memoria por parte del cerebro, atención, razonamiento, manejo de conjuntos, teoría de conjuntos deben ser analizados en futuras investigaciones para poder fundamentar con más precisión la construcción y el conocimiento matemático.

[1] Wittgenstein sostenía que los números no existen en el universo, y que son exponentes de operaciones (Wittgenstein, Tractatus Logico Filosofico, 1997) ; Kurt Godel, sostenía un realismo Platónico (Godel, 1951), y Bower, la construcción mental de las matemáticas, con su intuicionismo. (Horsten, 2008)

[2] Although the senses are necessary for all our actual knowledge, they aren’t sufficient to provide it all, because “The senses never give us anything but instances, i.e. particular or singular truths (Leibniz, pág. 2)

[3] Este hombre moderno apareció en Europa repentinamente hace unos 37 000 anos, cargando un gran número de nuevos tipos de herramientas… Más importante, apareció, aparentemente por primera vez, con habilidades en arte, en fabricación de imágenes, y manejo de símbolos que florecieron en cualquier forma: pintura, escultura, decoración, dibujo, y grabado. Apareció también con habilidades en música, tal como han sido halladas en excavaciones flautas de hueso del Paleolítico temprano, ceremonia, ritual y quizás danza. (Marshack, 1991, pág. 34)

[4] Profesora del Departamento de Psicología de la Universidad de Yale, e investigadora del centro de Cognición infantil de la misma universidad.

[5] Los bebes extraerían las reglas elementales de la aritmética de su ambiente -sin embargo lo hacen a una edad más precoz de lo que imaginan. Este conocimiento podría ser, más que innato, construido en la arquitectura de los cerebros de los bebes, y llegan a ser manifestados tan pronto como la habilidad para memorizarla presencia de objetos atrás de una pantalla, alrededor de los cuatro meses de edad. (Dehaene, 1997, pág. 62)

[6] Turing pensaba que el cerebro humano era una máquina de estados finitos, por lo que podría representarse mediante un ordenador suficientemente potente (Turing, 1950). Aunque otros pensadores, como Kurt Godel no estaban de acuerdo con esta propuesta, tal como lo menciona Godel en la conferencia Gibbs de 1951: el funcionamiento de la mente humana no puede reducirse al del cerebro, que es, bajo toda aparien­cia, una máquina finita con un número finito de partes, esto es, las neu­ronas y sus conexiones. De esta forma, uno llega aparentemente a adoptar algún punto de vista vitalista (Godel, 1951).

[7]En el campo de la psicología cognitiva el reconocimiento de patrones se ha estudiado desde el punto de vista de lo que es el reconocimiento de objetos. Las dos teorías manejadas son: “feature theory and template theory”; ambas están de acuerdo que en un nivel muy general, el reconocimiento de patrones relaciona información asociada con estímulos visuales e información almacenada en memoria. La idea básica en relación a la “template theory” es que hay una copia en miniatura o “template” almacenado en la memoria de largo término asociada a cada “patrón visual” que conocemos. Un patrón es reconocido en las bases en las que el “template” provee la asociación más cercana con el estimulo recibido. Una mejora a esta teoría es asumir que los estímulos visuales van antes a un proceso de normalización (una representación interna en una posición estándar, tamaño, etc.) antes que la asociación del template comience. Este proceso de normalización podría ayudar al reconocimiento de letras y dígitos, pero es improbable que consistentemente pueda hacer la asociación correcta. Por otro lado la “feature theorie”, nos dice que un patrón consiste en un conjunto de de determinados atributos o “features”: una nariz, dos ojos, una boca, etc. El proceso del reconocimiento de patrones se asume que comienza con la extracción de “features” del estimulo visual presentado. Este conjunto de “features” es combinado y comparado con la información almacenada en memoria. En el caso de patrones alfanuméricos como la A, esta teoría indica que sus “features” cruciales son dos líneas y una conexión cruzada. (Keane, 2003, págs. 83-87)

[8] Algunos estudios demuestran que las habilidades matemáticas de los bebes, manejan dos mecanismos: uno para conjuntos menores a 4, y otro para conjuntos mayores. (Rochel Gelman & Brian Butterworth, 2005, pág. 7)

[9] Los bebes pueden descubrir la relación “más grande que” entre 2 y 1, y entre 3 y 2, por la misma operación de sumar 1 permite el paso de 1 a 2, y de 2 a 3, de esta manera, por sucesivas adiciones, los bebes ya pueden ordenar las secuencias de números (Dehaene, 1997, pág. 65), teniendo una noción básica de la función sucesor.

[10] ¿Significa esto que los números y el lenguaje están relacionados? Los conceptos por medio de los cuales manejamos las cantidades parecen tener un origen ontogénico y neuronal independiente del lenguaje. Pacientes adultos con daños en las regiones de Broca y Wernicke (áreas asociadas al lenguaje), no presentan daños en sus habilidades numéricas, sin embargo, esta unión entre áreas de lenguaje y áreas del manejo numérico están muy relacionadas en los primeros años de vida, en el desarrollo de las bases neurales del manejo numérico, si se ven afectadas en los primeros años, quizás se afecte para siempre el manejo numérico. (Rochel Gelman & Brian Butterworth, 2005)

[11] Tomando en cuenta el la cantidad de elementos de un conjunto, y el orden de los elementos, se hace la división entre ordinales y cardinales.

[12] Intuición no en el sentido propuesto por Brouwer, para la intuición matemática.

[13] El termino imaginario fue introducido por Rene Descartes, que en su geometría menciona: Ni las raíces verdaderas ni las falsas son siempre reales, a veces son imaginarias (Kline, Mathematics the Loss of Cetainty, 1980, pág. 117)

[14] Aunque Turing mencionara que “la memoria humana es limitada” (TURING, 1936, pág. 1) , la memoria del ser humano, es en ciertas maneras una trampa, puede ser extremadamente ilimitada, puede tener recuerdos implantados, y puede olvidar cosas tan simples como donde quedaron las llaves del auto, pero no olvidar conducirlo. La visión de la limitada memoria humana de Turing, puede verse como resultado de los cálculos numéricos, sumas de grandes cantidades, pero eso puede deberse entre otros factores, a la arquitectura del cerebro humano, en el que la memoria, es una parte.

[15] Platón inicia con este escrito uno de los más grandes diálogos de la filosofía de occidente, relacionado con el conocimiento innato.

[16] (Keane, 2003)

[17] Un axioma puede definirse como una verdad no probada, necesaria para construir un sistema, esta puede ser cierta o no. De este hecho, siglos después Kurt Godel, trato de demostrar la inconsistencia, e incompletitud de sistemas axiomáticos, como la aritmética de Peano, para la cual, hay proposiciones verdaderas que no pueden probarse a partir de los axiomas.

[18] Este postulado fue reformulado de la siguiente manera: Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.

[19] La perfección del circulo, muchas veces asociadas a una naturaleza divina, proveyó, por ejemplo, la idea de que los planetas tenían orbitas circulares perfectas, creencia que se mantuvo hasta Kepler y sus tres leyes del movimiento de los planetas. Los pitagóricos creían en la perfección de los números y las figuras geométricas estableciendo los cinco sólidos pitagóricos.

[20] Este último postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras, incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a una dada).

[21] Para los árabes el nombre de Omar Khayyam (en torno a 1050-1123) es conocido por sus contribuciones en astronomía y álgebra. Los esfuerzos de Omar en la teoría de las paralelas se pueden encontrar en "La Verdad de las Paralelas y Discusión sobre la famosa duda" que es la parte I de su Discusión sobre las dificultades de Euclides. Omar Khayyam estudió, 600 años antes que Saccheri, cuadriláteros ABCD en los que AB es congruente con CD y los ángulos en A y en D son rectos.

Probó que los ángulos superiores del cuadrilátero eran congruentes. También demostró que la perpendicular por el punto medio de la base corta perpendicularmente en el punto medio del lado opuesto. Además obtuvo el siguiente resultado: "En el cuadrilátero anterior la longitud del BC es mayor que la de AD si y sólo si el ángulo en B es agudo; BC es congruente a AD si y sólo si el ángulo en B es recto y BC es mayor que AC si y sólo si el ángulo en B es obtuso. La posibilidad de que este ángulo fuera agudo o obtuso fue negada a partir del argumento de que "la distancia entre rectas paralelas ni se expande ni se contrae, que es por lo menos lo que en verdad los filósofos piensan." (http://www.euclides.org/menu/articles/aarticle2.htm)

[22] Hacia 1813 Gauss desarrolla la geometría no euclidiana, convencido de su consistencia lógica, y de sus aplicaciones; Gauss escribe a Adolf Taurinus sobre “la asunción de que la suma interna de los ángulos de un triangulo ya no es 180 grados, lleva a una nueva geometría, no euclidiana”. Sin embargo, fueron Lobatchevsky y Bolsai, los que tomaron el crédito de la geometría no euclidiana, ante las inseguridades de Gauss de dar a conocer su obra. (Kline, Mathematics the Loss of Cetainty, 1980, págs. 82-83)

[23] La creencia en Dios, dio paso a la fundamentación divina de la matemática, Dios geometriza, fue una de las frases empleadas, para entender y estudiar la perfección de las matemáticas a partir de un creador; poco a poco con los trabajos de Diderot, por ejemplo, y la filosofía empirista y escéptica de David Hume quien ayudo a que las leyes que rigen el universo perdieran su carácter fijo y divino, la naturaleza divina de las matemáticas fue cada vez menor. (Osorio, 2006, págs. 29-42)

[24] Boole es el inventor de la lógica "Booleana", la cual describe como los valores verdadero o falso, denotados por 1 y 0, deberían ser combinados en computación lógica. Hoy en día, el algebra booleana pertenece a la lógica-matemática, y a las ciencias de la computación. Pero Boole considero sus investigaciones como una contribución central a la psicología, "Una Investigación de las leyes del pensamiento" fue como titulo su libro.

[25] El modus ponens es un valido y simple argumento, referido algunas veces como una afirmación del antecedente. El modus tollens, referido también como la negación del consecuente.

[26] La tarea de selección de Wason, es otra prueba para valorar la prueba de hipótesis usando reglas condicionales. (Keane, 2003, págs. 453-456)

[27] La posición “formalista” ve la existencia de objetos matemáticos como sin significados y vacios. Para ellos, las matemáticas es solo un juego en cual se manipulan símbolos de acuerdo a precisas reglas formales. Los objetos matemáticos no tienen relación con la realidad, son definidos meramente como un conjunto de símbolos que satisfacen ciertos axiomas. De acuerdo con Hilbert, cabeza del movimiento formalista, en lugar de mostrar que una línea puede ir de un punto a otro, uno podría decir que una mesa esta entre dos vasos de cerveza –esta substitución no cambia los teoremas de la geometría-, o como menciona Wittgenstein “todas la proposiciones matemáticas significan lo mismo: nada (Dehaene, 1997, pág. 243)

[28] Hilbert y sus estudiantes trataron de probar la consistencia de axiomas del análisis matemático en la aritmética de Peano. Este proyecto fue conocido como el Programa de Hilbert (Zach 2006). Fue más complicado de lo que se esperaba, de hecho no tuvieron éxito probando la consistencia de los axiomas de la aritmética de Peano en la aritmética de Peano. (Horsten, 2008)

[29] Así es como las propiedades de una estructura de tipos es obtenida: propiedades de objetos primarios, propiedades de objetos y clases de objetos primarios y así se continua. Estas propiedades de estructuras de tipos determina una universo de capas de objetos matemáticos, comenzando por objetos primarios a clases de objetos primarios, a las clases de ambos: objetos primarios y clases de objetos primarios y así continua. (Horsten, 2008)

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